UCL数学本科大一课程预习攻略

伦敦大学学院（UCL）数学本科（Mathematics BSc）大一的课程旨在为学生打下坚实的数学基础，并逐步培养抽象思维、逻辑推理、数学建

模及计算能力。提前进行有针对性的预习，可以建立坚实的知识基础，更快适应教学环境及课堂节奏，从而在课程中有良好表现。对此，我们为大家整理了整份UCL数学本科大一课程预习攻略，希望能帮助你充分预习。

一、UCL数学本科大一课程结构

大一的必修课程是所有后续课程的“地基”，主要包括：

1、分析 1（MATH0003）

本课程将从实数的基本性质开始，对初等微分学的主要结果进行严格证明。涉及的主题包括函数的序列、级数、连续性和可微性以及指数函数的性质。

2、分析 2 (MATH0004)

MATH0004建立在MATH0003的基础上，学生将继续学习实变函数。课程的主要目的是发展严格的积分理论，并进一步发展序列和数列理论。

3、代数 1 (MATH0005)

MATH0005是现代代数与离散数学方法的入门课程，重点是研究线性方程。此外，还介绍了现代数学的其他一些重要方面，特别是逻辑、集合论、函数与映射、排列、场。

4、代数 2 (MATH0006)

本课程是MATH0005的延续。在简短的数论部分之后，课程将分为两个主要部分。第一部分是对群论的介绍。第二部分是继续学习线性代数。

5、应用数学 1 (MATH0008)

本课程将介绍应用数学中用于建立机械、生物和其他相关系统的简单模型的方法和工具。介绍的主要工具是微分方程、稳定性、波和振荡的定性和分析方法。

6、牛顿力学（MATH0009）

本课程将全面介绍牛顿力学。介绍力、力矩、动量、角动量和能量的基本概念。随后全面介绍点粒子的牛顿动力学，包括具有平方反比定律的中心力经典问题。

7、数学方法 1 (MATH0010)

本课程的目的是使学生在向量、复数、微积分和微分方程方面达到统一的水平和能力。课程内容包括向量、复数、实变函数、积分法、常微分方程和概率。

8、数学方法 2 (MATH0011)

本课程由两部分组成：第一部分的目的是向学生介绍计算机编程的思想及其在科学计算中的应用。第二部分的目的是向学生介绍多变量微积分的思想，以加深对多变量函数、其导数和积分的理解。

二、大一核心课程的预习内容

1. Analysis 1（数学分析）

• 预习目标：从计算式微分积分过渡到严谨证明的分析思维。

• 建议预习内容：

- 集合论与逻辑：命题、量词、集合运算、真值表

- 实数系统公理：有界性、确界、公理化定义

- 极限（数列与函数）：ε–δ 定义、极限运算性质

- 连续性与可导性：定义、常见函数的连续性证明

- 微分与积分的严谨定义（Riemann 积分）

2. Algebra 1（代数）

• 预习目标：适应抽象代数化的线性代数

• 建议预习内容：

- 矩阵的基本运算、逆矩阵、秩

- 向量空间的定义与性质

- 线性映射及其矩阵表示

- 特征值与特征向量（包括对角化条件）

- 正交性与内积空间基础

3. Mathematical Methods（数学方法）

• 预习目标：熟悉大学阶段常用的数学工具，尤其是工程和物理背景的同学会受益

• 建议预习内容：

- 常微分方程（分离变量法、一阶线性方程、二阶常系数齐次方程）

- 数列与级数收敛性（p-级数、比较判别法、比值判别法）

- 泰勒展开与近似计算

- 初步的傅里叶级数概念

三、课程预习的整体策略

1. 掌握高中与大学的衔接知识

高中数学的计算能力要保持（尤其是代数运算、三角函数、微积分计算），在此基础上逐步过渡到严格定义与证明。

2. 提前了解教材和往年试卷

UCL通常会提供往年试卷和解答，先尝试部分基础题，感受考试风格。

3. 保持“主动记笔记”的习惯

不是抄 PPT，而是自己写出概念、例题、反例、易错点，尝试用自己的话解释定义。

4. 平衡预习深度与广度

不必提前把全部知识吃透，否则开学可能缺乏新鲜感，建议先打好定义与证明的基础。

5. 做好预习时间规划（以开学前1个月为例）

• 第1周

- 阅读How to Prove It前三章（逻辑、集合、函数）

- 回顾高中高数内容（极限、导数、积分）

• 第2周

- 线性代数复习：矩阵运算、向量空间初步

- Python 基础语法、NumPy 矩阵操作

• 第3周

- 概率基础：事件、条件概率、常见分布

- 数列与级数收敛性判别法

• 第4周

- 数学分析 ε–δ 定义与例题

- 项目练习（Python 绘制函数图像、模拟概率实验）

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