A-Level进阶数学(A-Level Further Mathematics)是英国A-Level课程体系中难度最高的数学课程之一,适合计划将来在大学学习数学、物理、工程、计算机、统计、精算、经济等理科专业的学生。这门课程在普通A-Level数学(A-Level Mathematics)的基础上继续深入,内容广泛而深入,涵盖大量大学初级甚至部分中级数学内容。
一、A-Level进阶数学课程概述
1. 什么是A-Level进阶数学?
A-Level进阶数学是A-Level数学的延伸,只可在完成或同时学习A-Level数学的基础上选修。教授内容比普通A-Level数学更加抽象,含有更高阶的代数、微积分、复数、矩阵、向量、微分方程等内容。对逻辑思维能力、抽象理解力和数学建模能力要求较高。
2. 哪些学生适合选修?
- 计划申请牛津、剑桥、帝国理工、华威、UCL、LSE等英国顶尖大学数学、工程、计算机、经济等专业的学生。
- 数学能力强,对抽象问题和公式推导感兴趣,愿意花时间深入钻研。
- 想通过该课程在大学阶段获得课程免修或提

二、A-Level进阶数学课程结构
A-Level进阶数学是一门完整的A-Level课程,通常与A-Level数学同时学习。根据英格兰各大考试局的大纲,A-Level进阶数学通常包含核心和选修两部分。选修涵盖:
- 高阶纯数学(Further Pure)
- 高阶力学(Further Mechanics)
- 高阶统计(Further Statistics)
- 离散/决策数学(Discrete / Decision Mathematics)
各考试局在细节上略有不同,但大致模块是类似的。下面将以Edexcel 为例,说明其具体内容。
三、A-Level进阶数学核心内容
分为两部分,内容包括线性代数与微积分的核心概念:
(一)Core Pure 1:
1. 复数:
- 虚数单位
- 复平面与极坐标表示法
- 欧拉公式
- 德摩弗定理
- n次单位根
2. 矩阵与线性变换:
- 矩阵乘法、逆矩阵
- 矩阵表示的线性变换
- 特征值与特征向量
3. 进阶代数与函数:
- 多项式恒等式
- 根与系数关系
- 向量方法处理三维几何问题
4. 微积分与积分技巧:
- 函数组合与链式法则的推广
- 高阶导数
- 有理函数积分、部分分式分解
- 广义积分技巧(如双曲函数积分)
5. 超越函数:
- 定义及性质
- 与三角函数的类比
- 导数与积分公式
6. 极坐标方程:
- 图像绘制技巧
- 面积与弧长计算
- 与直角坐标系转换
(二)Core Pure 2:
7. 微分方程:
- 一阶与二阶线性微分方程
- 常系数齐次与非齐次微分方程
- 特解与通解法
- 应用:人口增长、电路、物理运动等建模
8. 级数展开:
- 泰勒级数、麦克劳林级数
- 正弦、余弦、指数函数展开
- 收敛半径的初步理解
9. 向量与空间几何:
- 向量点乘与叉乘
- 空间直线和平面的方程
- 夹角、距离等空间几何问题
四、A-Level进阶数学选修内容
学校通常会从以下模块中选取两个进行教学:
1. Further Mechanics 1:
- 动量与冲量、碰撞问题
- 简谐运动
- 能量守恒与功
- 转动运动
- 中心力与轨道运动模型
2. Further Statistics 1:
- 分布函数(Poisson、Geometric、Negative Binomial等)
- 连续随机变量、概率密度函数
- 置信区间与假设检验(Z检验、t检验)
- 卡方分布、独立性检验
- 回归分析与拟合优度
3. Decision Mathematics:
- 图论基础(最短路径、最小生成树)
- 排序、调度、网络流问题
- 二分匹配算法、线性规划
- 整数规划、分支限界法
4. Further Pure Mathematics:
- 更深入的函数论与数论
- 二阶微分方程的变换法
- 极限与渐近分析
- 数值方法与算法
A-Level进阶数学是一门难度很高的课程,既需要学生具备坚实的数学基础,又要求学生有抽象思维、逻辑推理和不断钻研的精神。如果学生有课程方面的问题希望得到有针对性的指导和解答,可以立即联系新航道的课程顾问,以获得一对一alevel课程辅导。通过辅导,学生将及时解决课业问题、充分掌握课程重点、不断提升解题技能,从而获得更好的学习成果。
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