昆山杜克大学大一应用数学课程预习攻略

昆山杜克大学的应用数学课程，既承袭了杜克大学的国际化课程框架，又结合了中国大学数理基础教学的特点。对于即将进入大一的新生来说，如果能在入学前做好预习，可以极大程度地缓解刚入学的学习压力。对此，我们总结了这份预习攻略，希望能帮助你做好充分预习，顺利开启大一。

一、课程整体定位

在DKU，本科应用数学方向通常包含三大类课程：

1. 数学基础课（入门必修）

- Calculus I / II（微积分）

- Linear Algebra（线性代数）

- Probability & Statistics（概率与统计）

2. 应用方向课程（进阶必修/选修）

- Differential Equations（微分方程）

- Numerical Methods（数值计算方法）

- Optimization（优化理论）

- Data Science / Machine Learning（数据科学/机器学习）

3. 跨学科应用

- 数学建模

- 数学在经济学、物理学、生物学中的应用

作为大一新生，首要面对的是 Calculus + Linear Algebra + 基础概率统计。这三门课程是后续所有应用数学的基石。

二、预习重点内容

1. 微积分（Calculus I/II）

▷目标：从单变量函数拓展到多变量函数，并掌握基本的极限、积分和级数。

▷预习重点：

• 极限与连续

- ε-δ 定义（了解即可）

- 常见函数的极限：指数、对数、三角函数

• 导数与微分

- 基本求导公式（幂函数、指数函数、对数函数、复合函数、反函数）

- 常见应用：切线、速度、加速度、极值

• 积分

- 定积分与不定积分

- 积分技巧：换元法、分部积分

- 定积分应用：面积、体积、平均值

• 多元微积分（部分大一下学期涉及）

- 偏导数、梯度

- 二重积分与三重积分

- 向量场、散度、旋度（可提前了解）

2. 线性代数（Linear Algebra）

▷目标：掌握矩阵与向量的计算方法，并理解线性代数在数据科学、计算机科学中的应用。

▷预习重点：

• 向量与矩阵运算

- 向量加减、点积、叉积

- 矩阵加减、数乘、乘法

- 矩阵转置与逆

• 线性方程组

- 高斯消元法

- 矩阵的秩（rank）与解的存在性

• 特征值与特征向量

- 特征方程

- 对角化与相似变换

- 在 PCA（主成分分析）中的应用

• 空间与变换

- 向量空间、子空间、基与维数

- 线性映射与矩阵表示

3. 概率与统计（Probability & Statistics）

▷目标：虽然大一上学期可能不深入，但建议提前打基础。

▷预习重点：

• 概率基础

- 随机事件、条件概率、独立性

- 全概率公式与贝叶斯公式

• 随机变量

- 离散型：二项分布、泊松分布

- 连续型：均匀分布、正态分布、指数分布

• 数理统计初步

- 期望与方差

- 大数定律、中心极限定理（了解）

4. 数学思维与证明

DKU 的课程很强调 critical thinking 和 rigorous proof，不像国内多数课程只强调计算。因此要提前适应：

• 常见证明方法：

- 直接证明（Direct Proof）

- 反证法（Proof by Contradiction）

- 数学归纳法（Mathematical Induction）

• 逻辑与集合论基础：

- 命题逻辑、量词（∀, ∃）

- 集合运算、函数与映射

三、预习方法与学习建议

1. 重视英文教材与术语

DKU课程是英文授课，考试也用英文。提前熟悉常见数学术语，例如：Derivative（导数）、Integral（积分）、Eigenvalue（特征值）、Variance（方差）。建议边看中文教材，边配合英文教材/词汇表。

2. 多练习，避免只看书

数学预习的核心是动手做题。即使提前看懂概念，不做题也难以掌握。

- 每个概念配合至少 3-5 道典型例题。

- 遇到不会的题目，重点标记，入学后再问教授/助教。

3. 结合计算工具

- 熟悉 Python（NumPy, Matplotlib） 或 MATLAB，能在数值计算和建模中用到。

- 可以尝试 WolframAlpha，辅助理解复杂计算。

4. 提前感受“应用”

看一些数学建模案例（如人口增长模型、传染病模型）。尝试将线性代数应用到图像处理（如矩阵旋转、压缩）。这样能更快建立“抽象数学 → 现实应用”的连接。

昆山杜克大学的应用数学课程更强调逻辑证明能力与跨学科应用能力。如果你希望在入学前得到有针对性的昆山杜克大学课程预习辅导，可以直接联系新航道的课程顾问。新航道能够及时为你安排一对一辅导，帮助你明确课程重点、建立知识框架、提升应用能力，从而在大一开学后能够更快跟上课程节奏，有更好的学业表现。

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