IB Math AI HL课程内容详细总结

IB数学课程在改革之后，分为两个方向：Analysis and Approaches (AA) 和 Applications and Interpretation (AI)，每个方向又分别设有 SL 和 HL 两个难度等级。其中，IB Math AI HL是为希望在社会科学、数据分析、商业经济、心理学、信息科学等领域深度发展学生设计的一门强调数学在实际生活与科技中的应用的课程。

这门课程并不以高等纯数学为重点，而是着重于统计建模、科技辅助解题、现实问题建模、数据解释等方面，培养学生的实用建模能力、数据敏感性与技术工具使用能力。以下是对 IB Math AI HL 课程内容的详细总结与考点解析，供学生系统复习与掌握。

一、IB Math AI HL课程结构

IB官方将Math AI HL内容划分为5个主要主题，每个主题下面细分若干知识点。下表为完整内容概览：

• 数与代数：数与代数：数的系统、指数、对数、等差/等比数列、代数表达式

• 函数：函数的表示、建模、图像特征、反函数、复合函数、函数变换

• 几何与三角：坐标几何、向量、基本三角函数、球面三角与方向角

• 统计与概率：数据收集与分析、描述性统计、概率分布（正态、二项、泊松等）、独立性检验

• 微积分：极限思想、导数的计算与应用、数值积分、函数建模与图像分析

此外，HL课程相比SL增加了扩展内容（HL extension topics），使得知识深度与广度进一步提升，特别是在建模、导数应用与概率推断方面要求更高。

二、五大模块内容详解

1、主题1：Number and Algebra（数与代数）

• 核心内容：

- 科学记数法、近似值、误差计算

- 指数与对数函数的性质和应用

- 代数表达式的简化、解方程与不等式（包括指数/对数形式）

- 数列与递推公式（特别是金融应用）

- HL扩展：二项式展开、复数基础（包括代数形式和共轭）

• 常见应用：

- 利息计算（单利、复利、年金）

- 使用GDC求解复杂方程

- 对数图线用于拟合指数增长模型（如人口增长、放射性衰变）

✅ 技巧建议：熟练掌握对数运算法则与建模过程（如log-linear模型的线性化转换），GDC的使用是得分关键。

2、主题2：Functions（函数）

• 核心内容：

- 函数表示方法（代数、图像、词语、表格）

- 常见函数类型：一次、二次、指数、对数、正弦、余弦、分段函数、绝对值函数

- 函数的图像特征（定义域、值域、不连续点、渐近线）

- 函数变换（平移、拉伸、对称）

- HL扩展：复合函数、反函数、分段函数建模

• 常见应用：

- 拟合现实问题（用函数描述现象）

- 使用图形计算器绘图求交点、极值等

- 对函数进行模型比较（例如指数函数是否比二次函数更合适拟合某数据）

✅ 技巧建议：掌握函数图像与现实数据间的联系，尤其要能将实际情境抽象成函数形式并用GDC辅助分析。

3、主题3：Geometry and Trigonometry（几何与三角）

• 核心内容：

- 2D/3D几何中的距离、角度与向量计算

- 三角恒等变形与角度单位（度与弧度）

- 三角比函数（sin, cos, tan）的定义与应用

- 球面三角、方向角、向量夹角、投影

- HL扩展：向量的代数运算、点积（scalar product）、线段夹角计算

• 常见应用：

- 利用向量解题（定位问题、路径规划）

- 球面距离计算（如航线问题）

- 使用正余弦定理解决非直角三角问题

✅ 技巧建议：几何部分强调应用，如地图导航、飞行方向判断等场景，图像要素+公式代入能力是关键。

4、主题4：St

atistics and Probability（统计与概率）

这是IB Math AI HL最重头的部分，分值权重很高。

• 核心内容：

- 数据类型、数据图（柱状图、散点图、箱型图、直方图）

- 中心趋势与离散程度（mean, median, standard deviation）

- 回归分析与相关性（包括皮尔逊相关系数）

- 离散与连续概率分布（Binomial, Poisson, Normal）

- 条件概率、独立性检验（卡方检验）

- HL扩展：期望值与标准差计算（公式应用），概率分布选择与拟合，假设检验（特别是独立性）

• 常见应用：

- 利用数据分析预测趋势或做决策（如“某产品销量是否受时间影响”）

- 用正态分布解决现实问题（如体重分布、成绩分布等）

- 假设检验应用于问卷调查结果分析

✅ 技巧建议：

- 掌握GDC中数据分析功能：如输入数据→回归拟合→查看相关性。

- 理解图表趋势含义、具备基本数据解读能力。

- 熟练区分各类分布使用场景，特别是正态vs泊松vs二项分布。

5、主题5：Calculus（微积分）

• 核心内容：

- 极限思想、导数的定义（速度变化率的概念）

- 导数规则：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数求导

- 图像分析：极值点、拐点、函数增减性

- 面积近似（梯形法）、数值积分（GDC）

- 反函数求导与链式法则（HL重点）

- HL扩展：高阶导数、导数与函数建模（如预测某一时刻的增长率）

• 常见应用：

- 实际情境中的瞬时变化率：如人口增长、利润变化、温度变化

- 用导数分析函数图像（寻找最大利润点等）

- 用积分求曲边图形的面积或总变化量（如距离、总利润）

✅ 技巧建议：

- 注重“导数的意义”，不仅仅是求值，更是变化的描述；

- 熟练GDC的微积分工具，如“dy/dx at x=…”，或“∫ f(x) dx from a to b”。

三、Internal Assessment（IA）内容与建议

IB Math AI HL 的Internal Assessment (IA) 是学生独立完成的一篇数学探究报告，占总分的20%。

• IA要求简述：

- 题目自选，需与日常生活、兴趣或社会现象有联系

- 报告长度：大约12页

- 需要展示建模、技术工具使用、逻辑推导与批判思维

• 常见IA选题方向：

- “分析不同国家GDP与幸福感指数之间的相关性”

- “预测某品牌社交媒体影响力与销量之间的数学关系”

- “模拟地震发生频率的Poisson分布模型”

✅ 技巧建议：

- 选题要“具象 + 可量化”，确保数据可得；

- 避免题目太大或太难，确保你可以用AI HL学过的工具处理；

- 在报告中体现“数学素养”，包括模型选择理由、误差分析、局限性讨论等。

如果学生在课程学习过程中遇到问题需要解答、IA写作卡壳、或需要详细讲解AI HL每章的知识点，可以直接联系新航道的顾问。新航道能够为学生安排一对一IB课程辅导，帮助学生解决课业难题、精讲课程重点、梳理学习难点，使学生在课程中有更好的表现。